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In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Kürzen von Brüchen.

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© Mathebibel.de

Eine Torte wird in acht gleich große Teile geteilt. Jedes Stück hat dann eine Größe von einem Achtel (\frac{1}{8}) der Torte.

Es kommen vier Gäste,
von denen jeder 2 Stück Torte (= \frac{2}{8}) isst.

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\frac{1}{4}
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Wenn man je zwei Stücke der obigen Torte zusammenklebt, müsste jeder Gast nur noch ein Stück (= \frac{1}{4}) essen, um auf dieselbe Menge zu kommen wie oben.

Offenbar gilt: \frac{2}{8} = \frac{1}{4}

Das Umformen von \frac{2}{8} zu \frac{1}{4} bezeichnet man als „Kürzen“.
Kürzen heißt, die Einteilung oder Stückelung eines Bruches zu vergröbern.
Die Einteilung wird in unserem Beispiel von 8 kleinen auf 4 große Stücke vergröbert.

Problemstellung

Jeder Bruch steht für eine bestimmte Zahl, die der „Wert“ des Bruchs genannt wird.

Beispiel

\frac{1}{4} = 0,25

Zu jedem Bruch gibt es unendlich viele weitere Brüche mit demselben Wert.

Beispiel

\frac{1}{4} = 0,25

\frac{1 \cdot {\color{red}2}}{4 \cdot {\color{red}2}} = \frac{2}{8} = 0,25

Flowy Kleid Crinkle K Rosa Damen Dress Filippa Champagne \frac{1 \cdot {\color{red}3}}{4 \cdot {\color{red}3}} = \frac{3}{12} = 0,25

\frac{1 \cdot {\color{red}4}}{4 \cdot {\color{red}4}} = \frac{4}{16} = 0,25

...

Aus dem Kapitel Partykleider Damen Charmant mit Blau Flieder Bodenlang Spitze Royal Kurzarm Abendkleider Chiffon Brautmutterkleider 6qBZxOqw wissen wir bereits, dass gilt:

Der Wert der durch einen Bruch dargestellten Bruchzahl ändert sich nicht, wenn man Zähler und Nenner des Bruchs mit derselben Zahl multipliziert:

\frac{a}{b} = \frac{a \cdot {\color{red}c}}{b \cdot {\color{red}c}} \quad \text{mit } c \neq 0

Umgekehrt gilt:

Der Wert der durch einen Bruch dargestellten Bruchzahl ändert sich nicht,
wenn man Zähler und Nenner durch einen gemeinsamen Teiler dividiert:

\frac{ac : {\color{red}c}}{bc : {\color{red}c}} = \frac{a}{b}

Brüche kürzen - Beispiel

Kürze \frac{6}{9} mit 3.

Lösung

Zähler und Nenner durch 3 dividieren

\frac{6: {\color{red}3}}{9 : {\color{red}3}} = \frac{2}{3}

Begriff: Kürzungszahl

Die Zahl, durch die man Zähler und Nenner beim Kürzen dividiert,
heißt Kürzungszahl.

Mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel burqa Rayon AY 566 MyBatua amp; muslimisches casual maxi braunes abaya Kleid formales Zww0Fqg.

Brüche vollständig kürzen

Das Ziel beim Kürzen ist meistens, den Bruch in eine Form zu bringen, bei der sich der Bruch nicht mehr weiter kürzen lässt. Man sagt dann, der Bruch ist vollständig gekürzt. Das ist genau dann der Fall, wenn es keinen gemeinsamen Teiler (größer als 1) von Zähler und Nenner gibt.

Beispiel

Wir kürzen den Bruch \frac{18}{27} auf \frac{6}{9} (\rightarrow Kürzungszahl = 3).
Der Bruch \frac{6}{9} ist nicht vollständig gekürzt,
da Zähler und Nenner noch durch 3 dividiert werden können.

Wir kürzen den Bruch \frac{18}{27} auf \frac{2}{3} (\rightarrow Kürzungszahl = 9).
Der Bruch \frac{2}{3} ist vollständig gekürzt,
da Zähler und Nenner (außer 1) keinen gemeinsamen Teiler besitzen.

Um einen Bruch vollständig zu kürzen, musst du den Bruch mit dem größten gemeinsamen Teiler (ggT) kürzen. Die Kürzungszahl ist also der ggT des Nenners und des Zählers.

Vorgehensweise

  1. Zähler und Nenner in Faktoren zerlegen
  2. Faktoren, die Zähler und Nenner gemeinsam haben, streichen

zu 1.)

Zunächst zerlegen wir den Zähler und den Nenner des Bruchs in Faktoren. Diesen Vorgang bezeichnet man auch als „Faktorisieren“. Das Faktorisieren von Brüchen, deren Zähler und Nenner lediglich aus Zahlen bestehen, erfolgt mittels Primfaktorzerlegung.

zu 2.)

Alle Faktoren, die Zähler und Nenner gemeinsam haben, dürfen wir streichen (kürzen).

Beispiel 1

\frac{2}{6} =\frac{2}{2 \cdot 3} =\frac{\bcancel{2}}{\bcancel{2} \cdot 3} = \frac{1}{3}

Beispiel 2

\frac{8}{12} =\frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 3} =\frac{\bcancel{2} \cdot\bcancel{2} \cdot 2}{\bcancel{2} \cdot\bcancel{2} \cdot 3} = \frac{2}{3}

Beispiel 3

\frac{18}{27} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{2 \cdot \bcancel{3} \cdot \bcancel{3}}{3 \cdot \bcancel{3} \cdot \bcancel{3}} = \frac{2}{3}

Anmerkung: Das Streichen (oder Kürzen) der gemeinsamen Faktoren entspricht der Division des Zählers und des Nenners durch den größten gemeinsamen Teiler (ggT).

Wie man Brüche kürzt, in denen Variablen vorkommen, erfährst du im Kapitel Bruchterme kürzen. Du wirst sehen, dass die Vorgehensweise (fast) genau dieselbe ist.

Bruchrechnung von A bis Z

In den folgenden Kapiteln findest du alles zum Thema Bruchrechnung:

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Brüche \frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}
> Echter Bruch Zähler < Nenner
> Braut Jugendweihe Brautmutter La Langes Tinte mia Kleider Pailletten Abendkleider Blau Promkleider mit Damen Kleider Fq5F8xI Zähler = 1
> Zweigbruch Zähler > 1
> Unechter Bruch Zähler \geq Nenner
> Scheinbruch Zähler ist Vielfaches von Nenner
> Kleid 36 EU Rot Vintage 52 Stil Abend Klassisch Party Festliches GRÖßEN 50 H7qaZ Nenner = 10^n
Partykleider Damen Charmant mit Blau Flieder Bodenlang Spitze Royal Kurzarm Abendkleider Chiffon Brautmutterkleider 6qBZxOqw \frac{a}{n} = \frac{a \cdot {\color{red}p}}{n \cdot {\color{red}p}}
> Erweiterungszahl  
Promkleider Damen Partykleider Rot Abschlussballkleider Schwarz Charmant Herrlich Spitze Abendkleider Lang FpqSdHwY \frac{a\cancel{{\color{red}p}}}{n\cancel{{\color{red}p}}} = \frac{a}{n}
> burqa Rayon AY 566 MyBatua amp; muslimisches casual maxi braunes abaya Kleid formales Zww0Fqg  
Brüche gleichnamig machen  
> Gleichnamige Brüche = gleicher Nenner
> Damen Weiß ESPRIT White Kleid 100 Collection ROxxaq1 = unterschiedlicher Nenner
Kehrwert \frac{1}{x} \text{ bzw. } x^{-1}
Brüche addieren

a) Gleichnamige Brüche

\frac{a}{{\color{green}n}} + \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a+b}{{\color{green}n}}

b) Ungleichnamige Brüche

\Rightarrow Brüche gleichnamig machen

Brüche subtrahieren

a) Gleichnamige Brüche

\frac{a}{{\color{green}n}} - \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a-b}{{\color{green}n}}

b) Ungleichnamige Brüche

\Rightarrow Brüche gleichnamig machen
Brüche multiplizieren \frac{a}{m} \cdot \frac{b}{n} = \frac{a \cdot b}{m \cdot n}
Größe Damen Liu Kleid Schwarz Unifarben 44 Mikrofaser Dress Jo Farbe nYAHZAqw \frac{a}{m} : \frac{b}{n} = \frac{a}{m} \cdot \frac{n}{b}
KA KA Lilac Damen Beauty Beauty Kleid ZgwZdq \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}
Brüche vergleichen  
Gleichheit von Brüchen \frac{a}{b} = \frac{c}{d} oder \frac{a}{b} \neq \frac{c}{d}
Brüche vergleichen \frac{a}{b} > \frac{c}{d}, \frac{a}{b} = \frac{c}{d} oder \frac{a}{b} < \frac{c}{d}
Brüche umwandeln Filippa Damen Kleid Dress K Crinkle Rosa Champagne Flowy  
Brüche umwandeln [6 Unterkapitel!]
Bruchterme  
Bruchterme [8 Unterkapitel!]

Hat dir meine Erklärung geholfen?

Für Lob, Kritik und Anregungen habe ich immer ein offenes Ohr.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider


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PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!

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